Die Poincaré-Vermutung soll ja sehr komplex sein. Hab gehört, dass es irgendetwas mit der Beschichtung bzw. Oberfläche auf der vierten Dimension zu tun haben soll. Der russische Mathematiker Grigori Perelman soll ja das Problem gelöst haben. Aber weiß jemand genaueres über die Poincaré-Vermutung, kann dies in einfachen Worten erklären?

Es gibt verschiedene aber äquivalente Formulierungen der Vermutung.

Ein Topologe würde Dir sagen:
"Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre."

Man könnte jetzt die Begriffe genau definieren, aber die meisten würden sie danach trotzdem nicht verstehen.

Ich versuche es mal eine Dimension tiefer - im 3-dimensionalen Raum.

Betrachte eine Kugel, die offensichlich keinen Rand hat und auch keine Loecher.
Legst Du nun einen Faden auf der Kugeloberflaeche beliebig aus und verknotest die beiden Endpunkt, so kannst Du den Faden stets zusammenziehen (auf einen Punkt), ohne den Faden oder die Kugel zu zerschneiden. Das klappt, auch fuer andere Koerper,
die aus Dehnung und Streckung einer (Gummi-)Kugel hervorgehen.
(Bei der Oberflaeche eines Dounuts oder Fahrradschlauchs klappt das
nicht immer.)

Die Umkehrung ist dabei nicht mehr so trivial einzusehen; also wenn man auf einem (noch unbekannten) Koerper alle moeglichen verlegbaren Faeden zusammenziehen kann, dann musst der Koerper aus Dehnung und Streckung einer Kugel hervorgehen koennen.

Schon gar nicht einsichtig ist, die Aussage, wenn wir in hoehere Dimensionen
gehen. Die Poincaresche Vermutung beweisst die Umkehrung für 4-dimensionale Kugel bzw. deren 3-dimensionale Oberfläche.

Generell gilt das auch fuer alle anderen Dimensionen, doch die Dimension 4
war bis vor kurzem noch unbewiesen.

Spannend wird es, wenn man die Frage stellt, ob unser Universum die Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel ist. Das hat sehr interessante
Konsequenzen.

Falls Du Dich intensiver mit der Vermutung und deren Beweisidee auseinander setzen möchtest, empfehle ich Dir das vor kurzem erschienen Buch "Poincares Vermutung". Ich habe hier eine ausführliche Buchkritik gefunden:
Poincares Vermutung - Donal B. O'Shea

Mit ein wenig Googlen erfaehrst Du bestimmt noch mehr interessante Dinge
ueber diese Vermtung/diesen mathematischen Satz.